La siguiente ecuación describe la reacción y la difusión, en estado estacionario, en una capa delgada del biocatalizador
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Donde, D es la difusividad efectiva basada en el área transversal total , cS es la concentración del sustrato limitante en el cultivo , z representa la profundidad dentro del soporte, X es la concentración de biomasa y r es alguna reacción biológica consumidora de sustrato.
El no aplicar esta aproximación en sistemas de células viables inmovilizadas, puede conducir a serias dificultades. La difusividad efectiva se define típicamente como
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Donde, b es la porosidad del catalizador, Do es la difusividad molecular y t es el factor de tortuosidad.
En el caso de células viables inmovilizadas, el espacio vacío disponible para la transferencia de masa de nutrimentos y de productos, es una función de la concentración de biomasa. Por esta razón, un valor de D no tiene un significado especial: puede depender del tiempo, es específico del sistema y por ello hace parte únicamente de un conjunto de condiciones.
Otro problema con esta aproximación deriva de la utilización de concentraciones de nutriente basadas en el volumen total del cultivo. En sentido estricto, la concentración de sustrato limitante dentro del soporte debería basarse en el volumen del fluido que no ocupa la biomasa, esto es, el volumen abiótico, ya que la concentración de sustrato en la fase abiótica es la cantidad de nutriente en el cual los microorganismos inmovilizados están inmersos.
La concentración de sustrato basada en el volumen total del cultivo (suma de los volúmenes biótico y abiótico), se aproxima bastante a la intrínseca, la concentración de la fase abiótica en la mayoría de las fermentaciones por lotes, puesto que la biomasa usualmente ocupa un pequeño porcentaje del volumen total del cultivo. Contrario a lo anterior, dentro de los soportes porosos la biomasa inmovilizada generalmente ocupa los espacios vacíos más accesibles, en los cuales se suplen los nutrimentos más adecuados. Debido a esto, con el fin de predecir apropiadamente la distribución de la actividad biocatalítica dentro de los biocatalizadores heterogéneos viables, se deberían usar exclusivamente las concentraciones intrínsecas.
Varios grupos de investigación observaron que las células viables se acumulan con elevadas densidades (109 – 1012 células/ml) generalmente en una capa bajo la superficie, con un espesor desde 50 hasta mil micrones.
La anchura actual de esta zona depende presumiblemente de las características físicas del soporte, de la difusividad y de la concentración superficial del nutriente limitante. Con relación a la figura 1, el límite inferior de la capa de células viables en estado estable, está fijo a una profundidad dentro del biocatalizador tal que la concentración del nutriente limitante en la fase abiótica, yS, ha alcanzado el valor mínimo, y0S.
Figura 1.
Dentro de la región en donde yS > y0S , la biomasa inmovilizada ocupa el espacio disponible entre los poros hasta la concentración de estado estacionario de la biomasa viable, cX , la cual, se supone, es independiente de la posición. El crecimiento posterior origina un desprendimiento de las células del soporte bajo condiciones de estado estacionario. En efecto, sobre la base de un componente n, densidad celular constante con un metabolismo descrito por m procesos; puede observarse que bajo condiciones de un sustrato limitante, las células crecen continuamente a todos los valores de yS que sean más grandes que y0S (esto es, la velocidad específica de crecimiento m es mucho mayor que cero) excepto que se administren antibióticos o se aplique una restricción mecánica apropiada.
Por lo anterior, la figura 1 representa un crecimiento continuo del sistema de células inmovilizadas en estado estacionario con respecto al consumo de sustrato, la concentración, el crecimiento y el desprendimiento de las células inmovilizadas.
Los requerimientos de un modelo naturalmente serán:
