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Método integral de análisis

La aplicación de métodos integrales está restringida al uso de ecuaciones cinéticas del tipo Monod porque se obtienen soluciones muy complejas para cS = f(t) aún con coeficiente de rendimiento YX/S constante.

El método integral de análisis del modelo de Monod, propuesto por Ong (1983), se fundamenta en un algoritmo de búsqueda unidimensional y en un procedimiento de ajuste por mínimos cuadrados. El punto de partida del método es la siguiente ecuación, obtenida mediante integración de la ecuación del factor de rendimiento de biomasa en sustrato

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Donde, X0, cS0, son las concentraciones iniciales de biomasa y sustrato limitativo del crecimiento, respectivamente. Si la ecuación anterior se sustituye en la ecuación de la velocidad específica de crecimiento de biomasa se obtiene

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La ecuación 5 deducida por Gates y Marlar (1968), indica una relación relación lineal entre los términos (1/t)ln(cS/cS0) y (1/t)ln(1 + ad). Gates y Marlar, sugieren un procedimiento basado en la representación gráfica de estos términos para diferentes valores supuestos del parámetro a. Los valores de a, b y c, asociados con la mejor línea recta obtenida, son seleccionados como los mejores estimativos y son los utilizados en la evaluación de m max, KS y YX/S, a partir de las ecuaciones 5, 6 y 7

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Los parámetros cinéticos de la ecuación de Monod, m max y KS, no pueden estimarse con la misma facilidad que los de Michaelis – Menten en una reacción enzimática. En el caso de una reacción enzimática, la velocidad inicial se mide en función de la concentración de sustrato a partir de una serie de ensayos por lotes. En un cultivo de microorganismos la velocidad inicial de una reacción siempre es cero por la necesidad de una fase de adaptación durante la cual no se aplica la ecuación de Monod.

De acuerdo con Ong (1983), el coeficiente de correlación R, describe el grado de ajuste de una línea recta. Por consiguiente el coeficiente R corresponde a la relación lineal expresada en la ecuación 5, es

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Donde:

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Donde, N es el número de datos analizados; x, abscisas; y, ordenadas

En las tres ecuaciones anteriores se conocen todos los términos, excepto el parámetro a. La función objetivo es minimizar (-R2). Esta función objetivo es unimodal para a > 0, es decir, sólo tiene un valor óptimo local igual al óptimo global.